メールはGoogleappsにて独自ドメインで使用（要はGmail）していまして、自身のドメインアドレスの他、仕事上必要となりもらっている他ドメインのメールについても、アカウントを追加し一箇所で送受信できる状態にしております。

そんな中、4月からもう１つ新しいアドレスを使うことになったのですが、そのメールシステムはOffice365を使用していて、これまで通りにGmailにSMTP設定でアカウント追加しようとしてもどうも上手くいかないのです。

MicrosoftさんとGoogleさんが仲が悪いから設定させないということなの？と思いながらどうにかならないか探したら、Yahoo!知恵袋で同じ悩みをもった人がいて、その回答内容で解決しました。
※GmailをOffice365メールに設定するための情報は多数あったのですが、Office365メールをGmailに設定するための情報は殆ど見当たりませんでした。

Yahoo!知恵袋　≪gmailでoffice365のメール送受信をしたい≫
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13141204868 

記載されているその方法を抜粋転記しておきますね。

要するに、SMTPサーバー名がsmtp.office365.comではうまくいかないようです。

正直、私が正しく理解している自信がありませんが、SMTPサーバーは使用地域によって異なるのですが、Gmailからはsmtp.office365.comと設定した場合、地域のSMTPサーバーに送ることがうまく行かないようです。そのため、使用地域のSMTPサーバー名を直接指定することが必要になります。

私の場合は、SMTPサーバーにoutlook-apacnorth.office365.comと入れることで、正しく設定でき、送信もできているようです。私の使用地域は日本です。

私と異なる地域のサーバーかもしれませんので、可能であれば、Windowsであればコマンドラインからnslookup smtp.office365.com、OS Xの場合もターミナルから同じコマンドで確認することをおすすめします。

Office365のSMTP設定を確認すると確かに、「smtp.office365.com」となっていて、これで設定しても「設定できません！」と出ます。ではありますが、「outlook-apacnorth.office365.com」にしたところ成功しました。

それならそうと、Microsoftさんも教えてくれれば良いのに…（そんなことするわけ無いか）

とまぁ、これで、これまで通り1つのGmail画面で全てのメール処理が出来ます。嬉しい限りです。

自分は上手くいきましたが、それ以外のことはサッパリ詳しくありませんので、同じように設定して何か問題が生じても一切責任が負えません。ということで実施は自己責任でお願いしますね。